複数のページを読み込む使い方をされる方がほとんどだと思いますので、エラーの表示では「どのページでエラーが起きたか」という情報が必要かと思います。
それをダイアログも出さずに表示させるのは難しいので、現状、ダウンロードしながら逐一エラーを表示するか、まったく表示しないかの二択にしています。
エラーが出た場合、やはりその都度ダイアログが出るのがWindows標準のデザインかと思います。エラーが出る可能性があるような場合は、ダウンロード時のエラーを通知する設定にしてお使いいただくのがベストではないでしょうか。
エラーを通知しない設定については、平行作業をしていて絶対に中断されたくない、という方のための、例えて言えばスクリーンセーバーを無効にするような意味合いで設けている機能です。
実際、エラーが出たら何か対処しないといけない場合がほとんどではないかと思いますので、単に漠然とエラーが出たことだけを示す機能があってもあまり役に立たないかも知れません。
エラーが出た時に通常のブラウザで開く、とか、エラーが出たページを次回からダウンロードしない、といった選択肢をエラーダイアログに追加することならできそうです。